การแทนค่า Floating-Point ตามมาตรฐาน IEEE 754

นักวิทยาศาสตร์เขียนเลขที่ใหญ่หรือเล็กมากในรูป ตัวเลข 1 หลักหน้าจุด × 10 ยกกำลัง เช่น

ฐานสองทำแบบเดียวกันได้ เลื่อนจุดจนหน้าจุดเหลือเลข 1 ตัวเดียว (ในฐานสองหลักแรกที่ไม่ใช่ 0 ต้องเป็น 1 เสมอ) แล้วจดว่าเลื่อนไปกี่ตำแหน่ง ขั้นนี้เรียกว่า Normalize

ถ้าเก็บจำนวนจริงแบบกำหนดตำแหน่งจุดตายตัว (fixed-point) เช่น 16 บิตหน้าจุด 16 บิตหลังจุด จะเก็บได้แค่ค่าในช่วงแคบ ๆ ค่าใหญ่มาก (ระยะทางระหว่างดาว) หรือเล็กมาก (ขนาดอะตอม) จะเก็บไม่ได้เลย

Floating-Point เก็บแค่ ตัวเลขสำคัญ กับ เลขชี้กำลัง แยกกัน จุดจึง “ลอย” ไปอยู่ตรงไหนก็ได้ตามขนาดของค่า ด้วย 32 บิตเท่าเดิมเก็บได้ตั้งแต่ประมาณ 1 × 10⁻⁴⁵ ถึง 3.4028235 × 10³⁸ แลกกับความละเอียดที่มีจำกัด (ราว 7 หลักฐานสิบ)

มาตรฐานที่ทุกเครื่องใช้คือ IEEE 754 ซึ่งกำหนดรูปแบบบิต วิธีปัดเศษ และค่าพิเศษ ทำให้ทุกเครื่องคำนวณได้ผลเหมือนกันทุกบิต

Single Precision (binary32) ใช้ 32 บิต แบ่งเป็น 3 ส่วน (สีของแต่ละส่วนเหมือนกันทุกบทในเว็บนี้):

• Sign
• Exponent
• Fraction

• Sign (1 บิต): 0 = บวก, 1 = ลบ
• Exponent (8 บิต): เลขชี้กำลังของ 2 เก็บแบบบวก Bias
• Fraction (23 บิต): บิตหลังจุดของตัวเลขสำคัญ

แตะที่บิตใดก็ได้เพื่อดูว่าบิตนั้นอยู่ส่วนไหนและมีน้ำหนักเท่าไร

เลขชี้กำลังจริงมีทั้งบวกและลบ (ค่าเล็กกว่า 1 มีเลขชี้กำลังติดลบ) แต่ field Exponent เก็บเป็นจำนวนเต็มไม่มีเครื่องหมาย 0–255 จึงบวก Bias 127 ก่อนเก็บ ค่าที่เก็บเรียกว่า Biased exponent

เช่น exponent จริง 2 เก็บเป็น 2 + 127 = 129 = 10000001 · exponent −3 เก็บเป็น −3 + 127 = 124 = 01111100

หลัง Normalize แล้ว หน้าจุดเป็น 1 เสมอ จึงไม่ต้องเก็บ 1 ตัวนี้ เรียกว่า Hidden bit เก็บแค่บิตหลังจุด 23 บิตใน Fraction แต่ได้ความละเอียด 24 บิต ตัวเลข 1.Fraction เต็ม ๆ เรียกว่า Significand

1. แปลงเป็นฐานสอง (ส่วนเต็มหาร 2 ซ้ำ ส่วนเศษคูณ 2 ซ้ำ)
2. Normalize ให้อยู่ในรูป 1.xxx × 2ᵉ
3. กำหนด Sign bit
4. คำนวณ Biased exponent = e + 127 แล้วเขียนเป็นฐานสอง 8 บิต
5. เติม Fraction ด้วยบิตหลังจุด 23 บิต (ถ้ามีบิตเกินต้องปัดเศษ)
6. รวม 3 ส่วนเป็น 32 บิต (มักเขียนเป็น hex 8 หลัก)

ทำย้อนกลับ: แยก field → ดูประเภทจาก Exponent → exponent จริง = E − 127 → เติม hidden bit → แทนค่าในสูตร

จากบทที่ 2 เรารู้แล้วว่า 0.1 ในฐานสองซ้ำไม่รู้จบ Single Precision มี Significand แค่ 24 บิต จึงต้องปัดให้ใกล้ที่สุด (round to nearest, ties to even) ผลคือ 0x3DCCCCCD ซึ่งมีค่าจริงเท่ากับ

ต่างจาก 0.1 อยู่ 1.4901161… × 10⁻⁹ เล็กมากแต่ไม่ใช่ 0 เวลาโปรแกรมแสดงผลเป็น 0.1 เพราะเลือกทศนิยมที่สั้นที่สุดที่แปลงกลับได้บิตเดิม

• ค่าจำกัดที่มากที่สุด: 0x7F7FFFFF ≈ 3.4028235 × 10³⁸
• ค่า normal ที่เล็กที่สุด: 0x00800000 = 2⁻¹²⁶ ≈ 1.1754944 × 10⁻³⁸
• ค่า subnormal ที่เล็กที่สุด: 0x00000001 = 2⁻¹⁴⁹ ≈ 1 × 10⁻⁴⁵

บทนี้แสดงค่าพิเศษแบบสั้น ๆ ส่วนการคำนวณกับค่าพิเศษอธิบายเต็มในบทที่ 5